已知数列{an}的前n项和Sn=1-an，公差为3的等差数列{bn}满足b2是b1与b6的等比中项．求数列{an}，{bn}的通项公式；令cn=a

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n=1-a_n，公差为3的等差数列{b_n}满足b₂是b₁与b₆的等比中项．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）令c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵数列{a_n}的前n项和S_n=1-a_n，∴n≥2时，S_n-1=1-a_n-1，
∴两式相减可得a_n=a_n-1-a_n，∴anan-1=12（n≥2）
∵n=1时，S₁=1-a₁，∴a₁=12
∴数列{a_n}是以12为首项，12为公比的等比数列
∴a_n=(12)n；
∵公差为3的等差数列{b_n}满足b₂是b₁与b₆的等比中项
∴（b₁+3）²=b₁•（b₁+15）
∴b₁=1
∴b_n=1+3（n-1）=3n-2
（II）c_n=a_nb_n=（3n-2）•(12)n
∴T_n=1•12+4•(12)2+…+（3n-2）•(12)n
∴12T_n=1•(12)2+4•(12)3+…+（3n-5）•(12)n+（3n-2）•(12)n+1
两式相减可得12T_n=1•12+3•(12)2+3•(12)3+…+3•(12)n-（3n-2）•(12)n+1=2-（3n+4）•(12)n+1
∴T_n=4-（6n+8）•(12)n+1．

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn=1-an.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。