对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．计算：[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+…+[log21

题文

对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．计算：[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂1024]的值=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

当[log₂x]=n，n∈N时，2ⁿ≤x＜2 ⁿ⁺¹，若x是正整数，则x共有2ⁿ项∴原式=0+（1+1）+（2+2+2+2）+（3+3+3+3+3+3+3+3）+…+（9+9+…9）+10
=0+2×1+2²×2+2³×3+2⁴×4+…2⁹×9+10．令S=2×1+2²×2+2³×3+2⁴×4+…2⁹×9①则2S=2²×1+2³×2+2⁴×3+2⁴×4+…2⁹×8+2¹⁰×9②
①-②得-S=2¹+2²+2³+2⁴+…+2⁹-2¹⁰×9=-2（1-2⁹）-2¹⁰×9=-8194．
∴原式8194+10=8204
故答案为：8204．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。