已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且an和Sn满足：4Sn=2，求{an}的通项公式；设bn=1an•an+1，

题文

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n和S_n满足：4S_n=（a_n+1）²（n=1，2，3…），
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=1an•an+1，求{b_n}的前n项和T_n；
（3）在（2）的条件下，对任意n∈N^*，T_n＞m23都成立，求整数m的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵4S_n=（a_n+1）²，①
∴4S_n-1=（a_n-1+1）²（n≥2），②
①-②得
4（S_n-S_n-1）=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²．
∴4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²．
化简得（a_n+a_n-1）•（a_n-a_n-1-2）=0．
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2（n≥2）．
∴{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴a_n=1+（n-1）•2=2n-1．
（2）b_n=1an•an+1=1(2n-1)(2n+1)=12（12n-1-12n+1）．
∴T_n=12[（1-13）+（13-15）+…+（12n-1-12n+1）]
=12（1-12n+1）=n2n+1．
（3）由（2）知T_n=12（1-12n+1），
T_n+1-T_n=12（1-12n+3）-12（1-12n+1）
=12（12n+1-12n+3）＞0．
∴数列{T_n}是递增数列．
∴[T_n]_min=T₁=13．
∴m23＜13，
∴m＜233．
∴整数m的最大值是7．

解析

1an•an+1

考点

据考高分专家说，试题“已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。