设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-1．求数列{an}的通项公式；设数列{nan}的前n项和为Tn，对任意n∈N*，比较Tn

题文

设数列 {a_n}的前n项和为S_n，且 S_n=2a_n-1（n∈N^*）．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列 {na_n}的前n项和为T_n，对任意 n∈N^*，比较Tn2与 S_n的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由S_n=2a_n-1得S_n+1=2a_n+1-1，相减得：a_n+1=2a_n+1-2a_n，∴an+1an=2
又S₁=2a₁-1∴a₁=2a₁-1，a₁=1∴a_n=2^n-1（5分）
（Ⅱ）T_n=1•2ⁿ+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1①
2T_n=1•2+2•2²+…+（n-2）•2^n-2+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ②
①-②得-T=1+2+2²+…+2^n-2+2^n-1-n•2ⁿ，
则T_n=n•2ⁿ-2ⁿ+1．（9分）
∴Tn2-Sn=n•2n-2n+12-(2n-1)=( n-3)•2n-1+32
∴当n=1时，T12-S1 =-12＜0，当n=2时，T22-S2=-12＜0
即当n=1或2时，Tn2-Sn＜0，Tn2＜Sn
当n＞2时，Tn2-Sn＞0，Tn2＞Sn（13分）

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。