数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an是(3-x)n的二项展开式中x的系数，设bn=3nan，Tn为数列{bn}的前n项和，则an=______，T99=_

题文

数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，a_n是(3-x)n的二项展开式中x的系数，设bn=3nan，Tn为数列{b_n}的前n项和，则a_n=______，T₉₉=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设(3-x)n的二项展开式的通项公式为T_r+1=Crn（-1）^r•3^n-r•(x)r，
令r=2，则T₃=C2n3^n-2x，
∴当n≥2时，a_n=n(n-1)2•3^n-2，
∴a_n=1，n=1n(n-1)2•3n-2，n≥2
又b_n=3nan，数列{b_n}的前n项和为T_n，
∴当n≥2时，b_n=3n3n-2•n(n-1)2=18n(n-1)=18（1n-1-1n），又b₁=3，
∴T₉₉=3+18[（1-12）+（12-13）+…+（198-199）]
=3+18（1-199）
=3+19611
=22911．
故答案为：1，n=1n(n-1)2•3n-2，n≥2；22911．

解析

x

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，a1=1，当n≥2时，a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。