若数列{an}满足：a1=m1，a2=m2，an+2=pan+1+qan，则称数列{an}为二阶线性递推数列，且定义方程x2=px+q为数列{a

题文

若数列{a_n}满足：a₁=m₁，a₂=m₂，a_n+2=pa_n+1+qa_n（p，q是常数），则称数列{a_n}为二阶线性递推数列，且定义方程x²=px+q为数列{a_n}的特征方程，方程的根称为特征根； 数列{a_n}的通项公式a_n均可用特征根求得：
①若方程x²=px+q有两相异实根α，β，则数列通项可以写成a_n=c₁αⁿ+c₂βⁿ，（其中c₁，c₂是待定常数）；
②若方程x²=px+q有两相同实根α，则数列通项可以写成a_n=（c₁+nc₂）αⁿ，（其中c₁，c₂是待定常数）；
再利用a₁=m₁，a₂=m₂，可求得c₁，c₂，进而求得a_n．根据上述结论求下列问题：
（1）当a₁=5，a₂=13，a_n+2=5a_n+1-6a_n（n∈N^*）时，求数列{a_n}的通项公式；
（2）当a₁=1，a₂=11，a_n+2=2a_n+1+3a_n+4（n∈N^*）时，求数列{a_n}的通项公式；
（3）当a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*）时，记S_n=a₁C_n¹+a₂C_n²+…+a_nC_nⁿ，若S_n能被数8整除，求所有满足条件的正整数n的取值集合． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a_n+2=5a_n+1-6a_n可知特征方程为：x²-5x+6=0，x₁=2，x₂=3…（3分）
所以 设 a_n=c₁•2ⁿ+c₂•3ⁿ，由c1•2+c2•3=5c1•4+c2•9=13得到c₁=c₂=1，
所以   a_n=2ⁿ+3ⁿ； …（6分）
（2）由a_n+2=2a_n+1+3a_n+4可以得到（a_n+2+1）=2（a_n+1+1）+3（a_n+1）
设b_n=a_n+1，则上述等式可以化为：b_n+2=2b_n+1+3b_n…（8分）
b₁=a₁+1=2，b₂=a₂+1=12，所以b_n+2=2b_n+1+3b_n对应的特征方程为：x²-2x-3=0，x₁=-1，x₂=3…（10分）
所以令   b_n=c₁•3ⁿ+c₂•（-1）ⁿ，由b₁=2，b₂=12可以得出c1=76c2=32
所以bn=76•3n+32•(-1)n…（11分）
即  an=76•3n+32•(-1)n-1，n∈N*…（12分）
（3）同样可以得到通项公式an=15[(1+52)n-(1-52)n]，n∈N*…（14分）
所以S_n=a₁C_n¹+a₂C_n²+a₃C_n³+…+a_nC_nⁿ=15C1n[(1+52)1-(1-52)1]+15C2n[(1+52)2-(1-52)2]+15C3n[(1+52)3-(1-52)3]+…+15Cnn[(1+52)n-(1-52)n]=15[C1n(1+52)1+C2n(1+52)2+C3n(1+52)3+…+Cnn(1+52)n]-15[C1n(1-52)1+C2n(1-52)2+C3n(1-52)3+…+Cnn(1-52)n]=15[(1+1+52)n-(1+1-52)n]=15[(3+52)n-(3-52)n]
即     Sn=15[(3+52)n-(3-52)n]，  n∈N*…（14分）Sn+2=15[(3+52)n+2-(3-52)n+2]=15[(3+52)n+1-(3-52)n+1]••[(3+52)+(3-52)]-[(3+52)n-(3-52)n]=3S_n+1-S_n
即   S_n+2=3S_n+1-S_n，n∈N^*…（16分）
因此S_n+2除以8的余数，完全由S_n+1，S_n除以8的余数确定，
因为a₁=1，a₂=1所以  S₁=C₁¹a₁=1，S₂=C₂¹a₁+C₂²a₂=3，S₃=3S₂-S₁=9-1=8，S₄=3S₃-S₂=24-3=21，S₅=3S₄-S₃=63-8=55，S₆=3S₅-S₄=165-21=144，S₇=3S₆-S₅=432-55=377，S₈=3S₇-S₆=1131-144=987，S₉=3S₈-S₇=2961-377=2584，
由以上计算及S_n+2=3S_n+1-S_n可知，数列{S_n}各项除以8的余数依次是：1，3，0，5，7，0，1，3，0，5，7，0，…，它是一个以6为周期的数列，从而S_n除以8的余数等价于n除以3的余数，所以n=3k，k∈N^*，
即所求集合为：{n|n=3k，k∈N^*}…（18分）

解析

c1•2+c2•3=5c1•4+c2•9=13

考点

据考高分专家说，试题“若数列{an}满足：a1=m1，a2=m.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。