已知数列{an}满足：1a1+1a2+1a3+…+1an=n2，求a2011若bn=anan+1，Sn为数列{bn}的前b项和，

题文

已知数列{a_n}满足：1a1+1a2+1a3+…+1an=n²（n≥1，n∈N⁺），
（1）求a₂₀₁₁
（2）若b_n=a_na_n+1，S_n为数列{b_n}的前b项和，存在正整数b，使得S_n＞λ-12，求实数λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）1a1+1a2+1a3+…+1a2011=2011²
1a1+1a2+1a3+…+1a2010=2010²
两式相减得1a2011=2011²-2010²=4021⇒a₂₀₁₁=14021
（2）1a1+1a2+1a3+…+1an=n²
1a1+1a2+1a3+…+1an+1=（n+1）²
两式相减得1an=n²-（n-1）²=2n-1⇒an=12n-1（n≥2）
当n=1时，a₁=1也满足上式∴an=12n-1（n≥1）
b_n=a_na_n+1=1(2n-1)(2n+1)=12（12n-1-12n+1）
S_n=12[（1-13）+（13-15）+…+（12n-1-12n+1）]=12（1-12n+1）
存在正整数b，使得S_n＞λ-12，即S_n的最大值大于λ-12
而S_n=12（1-12n+1）＜12
∴12＞λ-12，即λ＜1

解析

1a1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足：1a1+1a2+1.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。