已知数列{an}满足a1=1，点P在直线x-y+1=0上，数列{bn}满足nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(13)n-1+(13

题文

已知数列{a_n}满足a₁=1，点P（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，数列{b_n}满足nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(13)n-1+(13)n-2+…+13+1，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=-a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由点P（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，所以a_n+1-a_n=1．
则数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a_n=n．
由nb1+(n-1)b2++2bn-1+bn=(13)n-1+(13)n-2++13+1，
则（n-1）b₁+（n-2）b₂++b_n-1=(13)n-2++13+1，（n≥2）
两式相减得：b 1+b2++bn=(13)n-1，n≥2．
即数列{b_n}的前n项和Sn=(13)n-1，n≥2．
当n=1时，b₁=S₁=1，所以Sn=(13)n-1．
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(13)n-1-(13)n-2=-23•(13)n-2．
所以bn=1，(n=1)-63n，(n≥2)．（7分）
（Ⅱ）因为c_n=-a_nb_n，所以cn=-1，(n=1)6n3n，(n≥2)．
当n=1时，T_n=T₁=-1，当n≥2时，
设Tn=-1+6×232+6×333+6×434++6×n3n=-1+6(232+333+434++n3n)．
令T=232+333+434++n3n，则13T=233+334+435++n-13n+n3n+1，
两式相减得：23T=232+133+134++13n-n3n+1=29+127(1-13n-2)1-13-n3n+1=518-12•13n-n3n+1，
所以T=512-34•13n-12•n3n．
因此T_n=-1+6(232+333+434++n3n)=-1+6(512-34•13n-12•n3n)=32-12•93n-3n3n，n≥2．（13分）
又n=1时，T₁=-1也满足上式，故T_n=32-12•93n-3n3n．

解析

13

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=1，点P（an.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。