设数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn．已知a1=1，d=2，①求当n∈N*时，Sn+64n的最小值；②证明：由①知Sn=n2，当n∈N*时，2s

题文

设数列{a_n}是公差为d的等差数列，其前n项和为S_n．已知a₁=1，d=2，
①求当n∈N^*时，Sn+64n的最小值；
②证明：由①知S_n=n²，当n∈N^*时，2s1s3+3s2s4…+n+1SnSn+2＜516． 题型：未知 难度：其他题型

答案

①∵a₁=1，d=2，∴S_n=na1+n(n-1)2d=n²，
Sn+64n=n2+64n=n+64n≥2n×64n=16
当且仅当n=64n即n=8时，上式取等号，
故Sn+64n的最小值是16；
②证明：由①知S_n=n²，当n∈N^*时，
n+1SnSn+2=n+1n2(n+2)2=14[1n2-1(n+2)2]，
∴2s1s3+3s2s4…+n+1SnSn+2
=14[112-132+122-142+132-152+…+1n2-1(n+2)2]
=14[112+122-1(n+1)2-1(n+2)2]，
∵1(n+1)2+1(n+2)2＞0
∴2s1s3+3s2s4…+n+1SnSn+2＜14(112+122)=516
故命题得证．

解析

n(n-1)2

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}是公差为d的等差数列，其前.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。