已知Sn是正项数列{an}的前n项和，且Sn是14与2的等比中项．求证：数列{an}是等差数列；若bn=an2n，求数列{bn}的前n项

题文

已知S_n是正项数列{a_n}的前n项和，且Sn是14与（a_n+1）²的等比中项．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若bn=an2n，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）若bn≤14m2-m-12对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当 n≥2时，Sn=14(an+1)2，Sn-1=14(an-1+1)2，
两式相减，整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由于数列{a_n}是正项数列，∴a_n-a_n-1=2，又a₁=1，所以数列{a_n}是首项a₁=1，d=2的等差数列，a_n=2n-1；
（2）bn=an2n=2n-12n，Tn=12+322++2n-12n，12Tn=122+323++2n-12n+1
相减化简得Tn=3-2n+32n
（3）∵bn+1-bn=3-2n2n+1
当n=1，b₂＞b₁，当n≥2，b_n+1＜b_n，故当n=2时，b₂取到最大值34．
又bn≤14m2-m-12对一切正整数n恒成立，即34≤14m2-m-12
解得m≤-1或m≥5

解析

14

考点

据考高分专家说，试题“已知Sn是正项数列{an}的前n项和，且.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。