已知数列{an}中，a1=3，an+1-2 an=0，数列{bn}中，bn•an=n．求数列{an}通项公式；求数列{bn}通项

题文

已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1-2 a_n=0，数列{b_n}中，b_n•a_n=（-1）ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}通项公式以及前n项的和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（I）∵a_n+1-2a_n=0，∴an+1an=2(n≥1)
又∵a₁=3，∴{a_n}是首项为3，公比为2的等比数列，
∴a_n=3•2^n-1（n∈N^*）
（II）∵b_n•a_n=（-1）ⁿ（n∈N^*）
∴bn=(-1)n•1an=(-1)n•13×2n-1，
则{b_n}是以-12为公比，-13为首项的等比数列，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=-13+13×2+…+(-1)n•13×2n-1
=-13[1-(-12)n]1+12=-29[1-(-12)n]
=29[(-12)n-1]．

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=3，an+1-.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。