已知定义在R上的函数f满足：①当x＞0时，f＞1，②∀x、y∈R，f=ff．数列{an}满足①a1=1，②f=f（

题文

已知定义在R上的函数f（x）满足：①当x＞0时，f（x）＞1，②∀x、y∈R，f（x+y）=f（x） f（y）．数列{a_n}满足①a₁=1，②f（a_n+1）=f（a_n） f（1），（n∈N^*），Tn=-a12+a22-a32+…+（-1）ⁿa2n，则T₁₀₀等于（ ）A．4900B．-4900C．5050D．-5050 题型：未知 难度：其他题型

答案

对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），
可令x=1，y=0 可得 f（0+1）=f（0）．f（1）
因为x＞0时，有0＜f（x）＜1，故f（1）＞0
所以 f（0）=1
再取x=-y，可得f（0）=f（-y+y）=f（-y）•f（y）=1
所以f（-y）=1f(y)，同理以f（-x）=1f(x)
当x＜0时，-x＞0，根据已知条件得f（-x）＞1，即1f(x)＞1，
变形得0＜f（x）＜1．
综上所述任意x∈R，f（x）＞0．
设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）=f（x₂）f（-x₁）=f(x2)f(x1)＞1，f（x₂）＞f（x₁）
所以函数f（x）在R上是单调递增函数．
f（a_n+1）=f（a_n） f（1）=f（a_n+1），所以a_n+1=a_n+1，数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，通项公式为a_n=n．
T100=(-12+22)+(-32+42) +…(-992+1002)=3+7+…+199=(3+199)×502=5050．
故选C．

解析

1f(y)

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的函数f（x）满足：①当x.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。