已知函数f(x)=2x-1(x≤0)f(x-1)-1(x＞0)，把函数g=f-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和Sn，

题文

已知函数f(x)=2x-1(x≤0)f(x-1)-1(x＞0)，把函数g（x）=f（x）-x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和S_n，则S₁₀=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

当0＜x≤1时，有-1＜x-1＜0，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-1，
当1＜x≤2时，有0＜x-1≤1，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-2+1，
当2＜x≤3时，有1＜x-1≤2，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-3+2，
当3＜x≤4时，有2＜x-1≤3，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-4+3，
以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x-1）+1=2^x-n-1+n，
所以，函数f（x）=2^x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），
由于指数函数f（x）=2^x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．
然后：
①将函数f（x）=2^x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，
即得到函数f（x）=2^x-1和y=x的图象，
取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．
即当x≤0时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=0．
②取①中函数f（x）=2^x-1和y=x图象-1＜x≤0的部分，
再同时向上和向右各平移一个单位，
即得f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的图象，
此时它们仍然只有一个交点（1，1）．
即当0＜x≤1时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=1．
③取②中函数f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的图象，
继续按照上述步骤进行，
即得到f（x）=2^x-2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，
此时它们仍然只有一个交点（2，2）．
即当1＜x≤2时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=2．
④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，
（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…
（n+1，n+1）．
即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．
综上所述方程f（x）-x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：
0，1，2，3，4，…，
其通项公式为：a_n=n-1，
前n项的和为 S_n=(n-1)•n2，
∴S₁₀=45．
故答案为：45．

解析

(n-1)•n2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=2x-1(x≤0)f(.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。