在数列{an}中，a1=1，an+1=anc•an+1，且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．求证：数列{1an}是等差数列；（

题文

在数列{a_n}中，a1=1，an+1=anc•an+1（c为常数，n∈N*），且a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列．
（Ⅰ）求证：数列{1an}是等差数列；
（Ⅱ）求c的值；
（Ⅲ）设b_n=a_na_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）因为a1=1，an+1=anc•an+1，所以a_n≠0，
则1an+1-1an=c•an+1an-1an=c，又c为常数，
∴数列{1an}是等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1an=1a1+(n-1)c=1+(n-1)c，
∵a₁=1，∴a₂=11+c，a₅=11+4c，
∵a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列，所以(11+c)2=11+4c，
解得c=0或c=2，当c=0时，a_n=a_n+1，不满足题意，舍去，
所以c的值为2；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知c=2，∴an=12n-1，
b_n=a_na_n+1=12n-1•12n+1=12(12n-1-12n+1)，
所以数列{b_n}的前n项和
S_n=12[(1-13)+(13-15)+…+(12n-1-12n+1)]=12(1-12n+1)

解析

anc•an+1

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=1，an+1=a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。