题文
有一个翻硬币游戏，开始时硬币正面朝上，然后掷骰子根据下列①、②、③的规则翻动硬币：①骰子出现1点时，不翻动硬币；②出现2，3，4，5点时，翻动一下硬币，使另一面朝上；③出现6点时，如果硬币正面朝上，则不翻动硬币；否则，翻动硬币，使正面朝上．按以上规则，在骰子掷了n次后，硬币仍然正面朝上的概率记为Pn．（Ⅰ）求证：∀n∈N*，点（Pn，Pn+1）恒在过定点（59，59），斜率为-12的直线上；
（Ⅱ）求数列{Pn}的通项公式Pn；
（Ⅲ）用记号Sn→m表示数列{Pn-59}从第n项到第m项之和，那么对于任意给定的正整数k，求数列S1→k，Sk+1→2k，…，S（n-1）k+1→nk，…的前n项和Tn． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）证明：设把骰子掷了n+1次，硬币仍然正面朝上的概率为Pn+1，此时有两种情况：①第n次硬币正面朝上，其概率为Pn，且第n+1次骰子出现1点或6点，硬币不动，其概率为26=13，
因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为13Pn．…（3分）
②第n次硬币反面朝上，其概率为1-Pn，且第n+1次骰子出现2，3，4，5点或6点，其概率为56，
因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为56(1-Pn)．
∴Pn+1=13Pn+56(1-Pn)，变形得 Pn+1-59=-12( Pn-59 )．
∴点（Pn，Pn+1）恒在过定点（59，59），斜率为-12的直线上．…（6分）
（Ⅱ）P0=1，P1=13P0+56(1-P0)=13，
又由（Ⅰ）知：Pn+1-59Pn-59=-12，
∴{Pn-59}是首项为P1-59=13-59=-29，公比为-12的等比数列，…（8分）
∴Pn-59=-29•(-12)n-1，
故所求通项公式为Pn=59+(-1)n9•2n-2．…（10分）
（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知{Pn-59}是首项为a1=P1-59=-29，公比为q=-12的等比数列，又
∵Snk+1→(n+1)kS(n-1)k+1→nk=a1qnk(1+q+…+qk-1)a1q(n-1)k(1+q+…+qk-1)=qk（k∈N*）是常数，
∴S1→k，Sk+1→2k，…，S（n-1）k+1→nk，…，也成等比数列，…（12分）
且S1→k=-29[1-(-12)k]1+12=-427[1-(-12)k]
从而 Tn=S1→k(1-qkn)1-qk=-427[1-(-12)k]•[1-(-12)kn]1-(-12)k=-427[1-(-12)kn]．…（14分）
解法二：Tn=S1→k+Sk+1→2k+…+S（n-1）k+1→nk=a1+a2+…+ank=-29[1-(-12)nk]1+12=-427[1-(-12)nk]．…（14分）
解析
26考点
据考高分专家说，试题“有一个翻硬币游戏，开始时硬币正面朝上，然.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）数列求和的常用方法：
1.裂项相加法：数列中的项形如
的形式，可以把
表示为
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
的数列，其中
为等差数列，
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。
数列求和特别提醒：
（1）对通项公式含有
的一类数列，在求
时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。
