设数列{an}中的前n项和Sn=14(an+1)2，且an＞0．求a1、a2；求{an}的通项；令bn=20-an，求数列{bn}的前多少项和

题文

设数列{a_n}中的前n项和Sn=14(an+1)2，且an＞0．
（1）求a₁、a₂；
（2）求{a_n}的通项；
（3）令b_n=20-a_n，求数列{b_n}的前多少项和最大？最大值是多少？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵Sn=14(an+1)2，且an＞0
当n=1时，a₁=s1=14(a1+1)2，此时a₁=1
当n=2时，S₂=1+a₂=14(a2+1)2，此时a₂=3
（2）∵Sn=14(an+1)2，且an＞0．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=(an+1)24-( an-1+1)24
∴（a_n-1）²=（a_n-1+1）²
∴（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0
∵a_n＞0
∴a_n+a_n-1≠0
∴a_n-a_n-1=2
数列{a_n}是以2为公差，以为首项的等差数列
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1
（3）∵b_n=20-a_n=21-2n
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=19n+n(n-1)2×(-2)=-n²+20n
=-（n-10）²+100
当n=10，和最大，最大值是100

解析

14

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}中的前n项和Sn=14(a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。