已知公差不为0的等差数列{an}满足a2=3，a1，a3，a7成等比数列．求数列{an}的通项公式；数列{bn}满足bn=anan+1+an+1an

题文

已知公差不为0的等差数列{a_n}满足a₂=3，a₁，a₃，a₇成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足bn=anan+1+an+1an，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设cn=2n(an+1n-λ)，若数列{c_n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题知a23=a₁a₇，设等差数列{a_n}的公差为d，
则(a1+2d)2=a₁（a₁+6d），
a₁d=2d²，∵d≠0
∴a₁=2d．                                                  …（1分）
又∵a₂=3，
∴a₁+d=3a₁=2，d=1…（2分）
∴a_n=n+1．                                                 …（3分）
（Ⅱ）∵b_n=anan+1+an+1an=n+1n+2+n+2n+1=2+1n+1-1n+2．            …（4分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（2+12-13）+（2+13-14）+…+（2+1n+1-1n+2）=2n+n2(n+2)．                          …（6分）
（ III）c_n=2ⁿ（an+1n-λ）=2ⁿ（n+2n-λ），使数列{c_n}是单调递减数列，
则c_n+1-c_n=2ⁿ（2(n+3)n+1-n+2n-λ）＜0对n∈N^*都成立    …（7分）
即2(n+3)n+1-n+2n-λ＜0⇒λ＞(2(n+3)n+1-n+2n)max…（8分）
设f（n）=2(n+3)n+1-n+2n，
f（n+1）-f（n）=2(n+4)n+2-n+3n+1-2(n+3)n+1+n+2n
=2(n+4)n+2+n+2n-3(n+3)n+1
=2+4n+2+1+2n-3-6n+1
=2(2-n)n(n+1)(n+2)…（9分）
∴f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…
当n=2或n=3时，f（n）_max=43，
∴(2(n+3)n+1-n+2n)max=43
所以λ＞43．               …（10分）

解析

a23

考点

据考高分专家说，试题“已知公差不为0的等差数列{an}满足a2.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。