当n∈N*时，Sn=1-12+13-14+…+12n-1-12n，求S1，S2，T1，T2；猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．

题文

当n∈N^*时，Sn=1-12+13-14+…+12n-1-12n，
（Ⅰ）求S₁，S₂，T₁，T₂；
（Ⅱ）猜想S_n与T_n的关系，并用数学归纳法证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵当n∈N^*时，Sn=1-12+13-14+…+12n-1-12n，T_n=1n+1+1n+2+1n+3+…+12n．
∴S₁=1-12=12，S₂=1-12+13-14=712，T₁=11+1=12，T₂=12+1+12+2=712（2分）
（II）猜想：S_n=T_n（n∈N*），即：
1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1n+2+1n+3+…+12n
（n∈N*）（5分）
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，已证S₁=T₁（6分）
②假设n=k时，S_k=T_k（k≥1，k∈N*），
即：1-12+13-14+…+12k-1-12k=1k+1+1k+2+1k+3+…+12k（8分）
则：S_k+1=S_k+12k+1-12(k+1)=T_k+12k+1-12(k+1)（10分）
=1k+1+1k+2+1k+3+…+12k+12k+1-12(k+1)（11分）
=1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+（1k+1-12(k+1)）
=1(k+1)+1+1(k+1)+2+…+12k+1+12(k+1)=T_k+1，
由①，②可知，对任意n∈N*，S_n=T_n都成立．（14分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“当n∈N*时，Sn=1-12+13-14.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。