已知各项均正的数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=12求{an}的通项公式设数列bn=1anan+2，求数列{bn}的前n项的和

题文

已知各项均正的数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=12（a_n²+a_n）
（1）求{a_n}的通项公式
（2）设数列b_n=1anan+2，求数列{b_n}的前n项的和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵2S_n=12（a_n²+a_n），2S_n+1=12（a_n+1²+a_n+1）
∴两式相减可得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
∵数列{a_n}各项均正，
∴a_n+1-a_n=1，
∴{a_n}是以1为公差的等差数列，
∵2S₁=12（a₁²+a₁），
∴a₁=1
∴a_n=n；
（2）b_n=12（1n-1n+2）
∴T_n=12(1-13+12-14+…+1n-1n+2)=12（1+12-1n+1-1n+2）=n(3n+5)2(n+1)(n+2)．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均正的数列{an}的前n项和为S.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。