函数f=x3，在等差数列{an}中，a3=7，a1+a2+a3=12，记Sn=f(3an+1)，令bn=anSn，数列{bn}的前n项和为Tn求{a

题文

函数f（x）=x³，在等差数列{a_n}中，a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，记Sn=f(3an+1)，令b_n=a_nS_n，数列{b_n}的前n项和为T_n
（1）求{a_n}的通项公式和S_n
（2）求证Tn＜13． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设数列{a_n}的公差为d，
∵a₃=7，a₁+a₂+a₃=12，
∴a₁+2d=7，3a₁+3d=12
解得a₁=1，d=3，∴a_n=3n-2
∵f（x）=x³
∴Sn=f(3an+1)=a_n+1=3n+1             （6分）
（2）证明：∵b_n=a_nS_n=（3n-2）（3n+1）
∴1bn=1(3n-2)(3n+1)=13(13n-2-13n+1)Tn=1b1+1b2+…+1bn=13(1-14+14-17+…+13n-2-13n+1)
∴Tn=13(1-13n+1)＜13（12分）

解析

3an+1

考点

据考高分专家说，试题“函数f（x）=x3，在等差数列{an}中.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。