已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an≠0，anSn+1-an+1Sn=2n-1an+1an，n∈N*求证Sn=2n-1an设bn=anan+1

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_n≠0，anSn+1-an+1Sn=2n-1an+1an，n∈N*
（1）求证Sn=2n-1an
（2）设bn=anan+1求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵a_n≠0，anSn+1-an+1Sn=2n-1an+1an，n∈N*
∴Sn+1an+1-Snan=2^n-1
令cn=Snan，则cn+1-cn=2n-1
利用叠加法可得：cn-c1=20+21+…+2n-2=1-2n-11-2=2^n-1-1
∵c1=S1a1=1，∴cn=2n-1
∴Sn=2n-1an；
（2）由（1）知，Sn+1=2nan+1
两式相减可得an+1=2nan+1-2n-1an
∴bn=anan+1=2n-12n-1=2(1-12n)
∴T_n=n2-2(12+122+…+12n)=n-42+12n-1．

解析

Sn+1an+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。