等差数列{an} 中，a1=3，前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，{bn}的公比q=S2b2．求an与bn；（2

题文

等差数列{a_n} 中，a₁=3，前n项和为S_n，等比数列 {b_n}各项均为正数，b₁=1，且b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=S2b2．
（1）求a_n与b_n；
（2）求数列{1Sn}的前n项和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知得b₂=b₁q=q，所以有q+3+a2=12q=3+a2q，（3分）
解方程组得，q=3或q=-4（舍去），a₂=6（5分）
∴a_n=3+3（n-1）=3n，bn=3n-1 （7分）
（2）∵Sn=n(3+3n)2，∴1Sn=2n(3+3n)=23(1n-1n+1)（10分）
∴1S1+1S2+…+1Sn=23(1-12+12-13+…+1n-1n+1)=23(1-1n+1)=2n3n+3 （14分）

解析

q+3+a2=12q=3+a2q

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an} 中，a1=3，前n项和.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。