设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn．若数列首项为a1=32，公差d=1，求满足Sk2=2的正整数k的值；若Sn=n2，求通项an；

题文

设无穷等差数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）若数列首项为a1=32，公差d=1，求满足S_k²=（S_k）²的正整数k的值；
（2）若S_n=n²，求通项a_n；
（3）求所有无穷等差数列{a_n}，使得对于一切正整数k都有S_k²=（S_k）²成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当 a1=32，d=1时，Sn=na1+n(n-1)2d=32n+n(n-1)2=12n2+n
∴12k4+k2=(12k2+k) 2
整理得k3(14k-1)=0
∴k=0或k=4
又∵k≠0，
∴k=4．
（2）当n=1时，s¹=a₁=1
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=2n-1
a₁也符合上式
∴a_n=2n-1
（3）设数列{a_n}的公差为d，则在 Sn2=(Sn)2中分别取k=1，2，由（1）得a₁=0或a₁=1．
当a₁=0时，代入（2）得d=0或d=6，
若a₁=0，d=0，则a_n=0，S_n=0，从而S_k=（S_k）²成立
若a₁=0，d=6，则a_n=6（n-1），由S₃=18，（S₃）²=324，S_n=216知s₉≠（S₃）²，故所得数列不符合题意．
当a₁=1时，代入（2）得4+6d=（2+d）²，解得d=0或d=2
若a₁=1，d=0，则a_n=1，S_n=n，从而 Sk2=(Sk)2成立；
若a₁=1，d=2，则a_n=2n-1，S_n=1+3+…+（2n-1）=n²，从而S=（S_n）²成立
综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：
∴a_n=0，a_n=1，a_n=2n-1．

解析

32

考点

据考高分专家说，试题“设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn．.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。