已知函数f(x)=7x+5x+1，数列{an}满足：2an+1-2an+an+1an=0且an≠0．数列{bn}中，b1=f且bn=f求

题文

已知函数f(x)=7x+5x+1，数列{a_n}满足：2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0且a_n≠0．数列{b_n}中，b₁=f（0）且b_n=f（a_n-1）
（1）求证：数列{1an}是等差数列；（2）求数列{|b_n|}的前n项和T_n；
（3）是否存在自然数n，使得（2）中的T_n∈（480，510）．若存在，求出所有的n；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由2a_n+1-2a_n+a_n+1a_n=0，
得1an+1-1an=12，
所以，数列{1an}是等差数列．
（2）∵b₁=f（0）=5，
∴7(a1-1)+5a1-1+1=5，
7a₁-2=5a₁，
∴a₁=1，1an=1+(n-1)12，
∴an=2n+1.bn=7an-2an=7-(n+1)=6-n．
当n≤6时，Tn=n2(5+6-n)=n(11-n)2，
当n≥7时，Tn=15+n-62(1+n-6)=n2-11n+602．
所以，Tn=n(11-n)2，n≤6n2-11n+602，n≥7
（3）不存在这样的自然数．
如果存在必定n＞7，
而在n＞7时T_n是递增的，
而n=36时，
T_n=480，
n=37时，T_n=511，
所以不存在这样的自然数．

解析

1an+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=7x+5x+1，数列{.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。