设数列{an}中，若an+1=an+an+2，，则称数列{an}为“凸数列”．设数列{an}为“凸数列”，若a1=1，a2=-2，试写出该数列

题文

设数列{a_n}中，若a_n+1=a_n+a_n+2，（n∈N^*），则称数列{a_n}为“凸数列”．
（1）设数列{a_n}为“凸数列”，若a₁=1，a₂=-2，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；
（2）在“凸数列”{a_n}中，求证：a_n+6=a_n，n∈N^*；
（3）设a₁=a，a₂=b，若数列{a_n}为“凸数列”，求数列前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a₁=1，a₂=-2，a₃=-3，a₄=-1，a₅=2，a₆=3，
∴S₆=0．（4分）
（2）由条件得an+1=an+an+2an+2=an+1+an+3，
∴a_n+3=-a_n，（6分）∴a_n+6=-a_n+3=a_n，即a_n+6=a_n．（8分）
（3）a₁=a，a₂=b，a₃=b-a，a₄=-a，a₅=-b，a₆=a-b．
∴S₆=0．（10分）
由（2）得S_6n+k=S_k，n∈N^*，k=1，，6．（12分）
∴Sn=0n=6kan=6k+1a+bn=6k+22bn=6k+32b-an=6k+4b-an=6k+5，k∈N^*（14分）

解析

an+1=an+an+2an+2=an+1+an+3

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}中，若an+1=an+an.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。