已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+sin2nπ2，n∈N*．求a2，a3，a4，并求出数列{an}的通项公式；设b

题文

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=（1+cos²nπ2）a_n+sin²nπ2，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃，a₄，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a2na2n-1，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：S_n≤n+53． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a₂=（1+0）a₁+1=2，a₃=（1+1）a₂+0=4，a₄=（1+0）a₃+1=5，
∵a_n+1=an+1 (n=2m-1，m∈N+) 2an(n=2m，m∈N+)，∴a2m+1=2a2ma2m=a2m-1+1
∴a_2m+1=2a_2m-1+2，∴a_2m+1+2=2（a_2m-1+2），∴a2m+1+2a2m-1+2=2
∴数列{a_2m-1+2}是公比为2的等比数列，∴a_2m-1+2=（a₁+2）2^m-1，
∴a_2m-1=-2+3•2^m-1（m∈N₊），a_2m=12a_2m+1=-1+3•2^m-1（m∈N₊），
∴a_n=-2+3•2n+12-1-1+3•2n2-1=-2+3•2n+12-1(n为奇数)-1+3•2n2-1  (n为偶数)=-2+3•2n-12(n为奇数)-1+3•2n-22(n为偶数)．
（2）b_n=-1+3•2n-1-2+3•2n-1=1+1-2+3•2n-1=1+12(-1+3•2n-2)，
①当n=1时，S₁=b₁=2≤1+53，不等式成立；
②当n≥2时，-1+3•2^n-2≥2，∴0＜1-1+3•2n-2＜1，
∵0＜1-1+3•2n-2＜1+1(-1+3•2n-2)+1=23•2n-2
∴12(-1+3•2n-2)＜13•2n-2
∴b_n＜1+13•2n-2=1+43•2n
∴S_n＜2+（1+43•22）+（1+43•23）+…+（1+43•2n）
=n+1+43×141-12（1-12n-1）=n+1+23（1-12n-1）
=n+53-43•2n＜n+53
由①②知：S_n≤n+53．

解析

an+1 (n=2m-1，m∈N+) 2an(n=2m，m∈N+)

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=1，an+1=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。