设各项为正的数列{an}，其前n项和为Sn，并且对所有正整数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．写出数列{an}的前二项；求数列{an}的

题文

设各项为正的数列{a_n}，其前n项和为S_n，并且对所有正整数n，a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项．
（1）写出数列{a_n}的前二项；     
（2）求数列{a_n}的通项公式（写出推证过程）；
（3）令b_n=a_n•（3ⁿ-1），求b_n的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得an+22=2Sn
∴a1+22=2a1解得a₁=2，
∴a2+22=2(a1+a2) 解得a₂=6
（2）由an+22=2Sn得Sn=(an+2)28
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
即可得到（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0
∵各项为正的数列{a_n}，
∴a_n-a_n-1=4
因此数列{a_n}是以2为首项，4为公差的等差数列，故a_n=4n-2
（3）由b_n=a_n（3^n-1-1），得b_n=（4n-2）（3ⁿ-1）=（4n-2）3ⁿ-（4n-2）
记c_n=（4n-2）3ⁿ，其n项和为U_n，则由错位相减法得U_n=3（1-3ⁿ）+（2n-1）3ⁿ⁺¹+3=（2n-2）3ⁿ⁺¹+6
∴Tn=(2n-2)3n+1+6-n(2+4n-2)2=(2n-2)3n+1+6-2n2．

解析

an+22

考点

据考高分专家说，试题“设各项为正的数列{an}，其前n项和为S.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。