已知数列{an}的前n项和为Tn=32n2-12n，且an+2+3log4bn=0求{bn}的通项公式；数列{cn}满足cn=an•b

题文

已知数列{a_n}的前n项和为T_n=32n²-12n，且a_n+2+3log₄b_n=0（n∈N^*）
（I）求{b_n}的通项公式；
（II）数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n；
（III）若c_n≤14m²+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由T_n=32n²-12n，易得a_n=3n-2代入到a_n+2+3log₄b_n=0（n∈N^*）根据对数的运算性质化简b_n=(14)n（n∈N^*），
（II）c_n=a_n•b_n=(3n-2)×(14)n，∴Sn=1×14+4×(14)2++(3n-2)×(14)n∴14Sn=1×(14)2+4×(14)3++(3n-2)×(14)n+1
两式相减整理得Sn=23-3n+23×(14)n
（III）c_n=a_n•b_n=（3n-2）•(14)n∴c_n+1-c_n=（3n+1）•(14)n+1-（3n-2）•(14)n=9（1-n）•(14)n+1（n∈N^*），
∴当n=1时，c₂=c₁=14，
当n≥2时，c_n+1＜c_n，即c₁=c₂＞c₃＞…＞c_n，
∴当n=1时，c_n取最大值是14，又c_n≤14m²+m-1对一切正整数n恒成立∴14m²+m-1≥14，即m²+4m-5≥0，
解得：m≥1或m≤-5．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Tn=32n.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。