已知数列{an}各项均为正数，前n项和Sn满足Sn=12a2n+12an-3，，数列{bn}满足：点列An在直线2x-y+1=0分

题文

已知数列{a_n}各项均为正数，前n项和S_n满足Sn=12a2n+12an-3，（n∈N*），数列{b_n}满足：点列A_n（n，b_n）在直线2x-y+1=0
（Ⅰ）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记T_n为数列{c_n}的前n项和，且cn=bn•2an-2，求T_n；
（Ⅲ）若对任意的n∈N^*不等式an+1(1+1b1+1)•(1+1b2+1)…(1+1bn+1)-ann+2+an≤0恒成立，求正实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由已知Sn=12a2n+12an-3，
∴2Sn=a2n+an-6（1）
当n≥2时，2Sn-1=a2n-1+an-1-6（2）
两式相减整理得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，----（2分）
注意到a_n＞0，∴a_n-a_n-1-1=0，∴a_n=n+2，
又当n=1时，a₁=S₁，解得a₁=3适合，∴a_n=n+2，----（3分）
点A_n（n，b_n）在直线l：y=2x+1上，∴b_n=2n+1．----（4分）
（Ⅱ）∵Cn=bn•2an-2=(2n+1)•2n，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）•2ⁿ
∴2Tn=3•22+5•23+7•24+…+(2n+1)•2n+1，
错位相减得Tn=(2n-1)•2n+1+2．----（8分）
（Ⅲ）∵对任意的n∈N*不等式an+1(1+1b1+1)•(1+1b2+1)…(1+1bn+1)-ann+2+an≤0恒成立，
由a＞0，即a≤12n+4(1+1b1+1)(1+1b2+1)(1+1b3+1)…(1+1bn+1)，---（9分）
令f（n）=12n+4(1+1b1+1)(1+1b2+1)(1+1b3+1)…(1+1bn+1)，--（10分）
∴f（n+1）=12n+4(1+1b1+1)(1+1b2+1)(1+1b3+1)…(1+1bn+1)•(1+1bn+1+1)，
∴f（n+1）＞f（n），f（n）单调递增，----（12分）
f(n)min=f(1)=5624．∴0＜a≤5624．----（14分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}各项均为正数，前n项和S.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。