已知函数f=2，f′是函数f的导函数，设a1=3，an+1=an-f(an)f′(an)证明：数列{an-2}是等比数列，并求

题文

已知函数f（x）=（x-2）²，f′（x）是函数f（x）的导函数，设a₁=3，a_n+1=a_n-f(an)f′(an)
（I）证明：数列{a_n-2}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（II）令b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）f′（x）=2（x-2），由an+1=an-f(an)f′(an)，
可得an+1-(an-2)22(an-2)=12an+1，
an+1-2=(12an+1)-2=12an -1=12(an-2)，
∴{a_n-2}是以a₁-2=1为首项，公比为12的等比数列，
∴an-2=(a1-2) (12)n-1，
∴an=(12)n-1+2．
（Ⅱ）由题意bn=nan=n2n-1+2n，
则Sn=(120+22+322  +…+n2n-1)+n2+n（9分）
令Tn=120+22+322+…+n2n-1①
①×12得：12Tn=12+222+323+…+n2n②
①-②得：12Tn=1+12+122+…+12n-1-n2n
=1-12n1-12-n2n=2（1-12n）-n2n，
即Tn=4(1-12n) -2n2n=4-n+22n-1（12分）
所以Sn=Tn+n2+n=4-n+22n-1+n2+n（13分）

解析

f(an)f′(an)

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=（x-2）2，f′（x.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。