已知函数f(x)=x2x+1，数列{an}满足a1=f，an+1=f．求a1，a2的值；求数列{an}的通项公式；设

题文

已知函数f(x)=x2x+1，数列{a_n}满足a₁=f（1），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设b_n=a_n•a_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n，并比较S_n与n2n+18． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）a₁=f（1）=12+1=13，a₂=f（a₁）=f（13）=1323+1=15；
（Ⅱ）∵an+1=an2an+1，
∴1an+1=2an+1an=2+1an
∴1an+1-1an=2
∵a₁=13，∴1a1=3
∴数列{1an}是首项为3，公差为2的等差数列，
∴1an=2n+1，
∴an=12n+1
（Ⅲ）bn=an•an+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1-12n+3)，
∴Sn=12(13-15+15-17+…+12n+1-12n+3)=n6n+9
n=1时，S₁=115，n2n+18=120，S_n大于n2n+18；
n=2时，S₂=221，n2n+18=111，S_n大于n2n+18，
n=3时，S₃=19，n2n+18=326，S_n小于n2n+18；
n=4时，S₄=433，n2n+18=217，S_n大于n2n+18；
猜想n≥4时，S_n大于n2n+18；
证明如下：①n=4时，S₄=433，n2n+18=217，S_n大于n2n+18，结论成立；
②假设n=k时，结论成立，即k6k+9＞k2k+18，∴2^k＞6k-9
n=k+1时，有2^k+1+18＞2（6k-9）+18＞6（k+1）+9，
∴k+16(k+1)+9＞k+12k+1+18，结论成立
由①②可知，结论成立．

解析

12+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x2x+1，数列{an.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。