已知数列{an}的各项分别为1，a+a2，a2+a3+a4，a3+a4+a5+a6，…，求{an}的前n项和Sn．

题文

已知数列{a_n}的各项分别为1，a+a²，a²+a³+a⁴，a³+a⁴+a⁵+a⁶，…，求{a_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵an=an-1+an+…+a2n-2，
当a=1时，a_n=n，S_n=1+2+3+…+n=n(n+1)2
当a≠1时，由登比数列的求和公式可得，an=an-1(1-an)1-a=an-1-a2n-11-a，
∴Sn=11-a[(1+a+a2+…+an-1)-(a+a3+…+a2n-1)]，
①当a≠±1时，Sn=11-a[1-an1-a-a(1-a2n)1-a2]
②当a=-1时，S_n=12[1-1+1-1+…（-1）^n-1-（-1-1-1…-1）]
=12[1-1+1-1…(-1)n-1]-n×(-1)×12
（1）当n为奇数时，Sn=12×1+12n即Sn=1+n2；
（2）当n为偶数时，Sn=12×0+12×n即Sn=n2．
综上可得，当a=1时，S_n=n(n+1)2
当a=-1时，Sn=n+12，n为奇数n2，n为偶数
当a≠±1时，Sn=11-a[1-an1-a-a(1-a2n)1-a2]

解析

n(n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的各项分别为1，a+a2.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。