已知数列{an} 中，a1=2，an-an-1-2n=0．写出a2、a3的值并求出数列{an}的通项公式；设bn=1a

题文

已知数列{a_n} 中，a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N）．
（1）写出a₂、a₃的值（只写结果）并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=1an+1+1an+2+1an+3+…+1a2n，求b_n的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N），
∴a₂=6，a₃=12．…（2分）
当n≥2时，a_n-a_n-1=2n，a_n-1-a_n-2=2（n-1），…，a₃-a₂=2×3，a₂-a₁=2×2，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-1+a_n-2）+（a_n-a_n-1）
=2[1+2+3+…（n-1）+n]
=2×n(n+1)2=n（n+1）．…（5分）
当n=1时，a₁=1×（1+1）=2也满足上式，…（6分）
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n+1）．…（7分）
（2）bn=1an+1+1an+2+…+1a2n
=1(n+1)(n+2)+1(a+2)(a+3)+…+12n(2n+1)
=1(n+1)-1(n+2)+1(n+2)-1(n+3)+…+12n-12n+1
=1(n+1)-1(2n+1)
=n2n2+3n+1
=1(2n+1n)+3．…（10分）
令f（x）=2x+1x（x≥1），
则f′(x)=2-1x2，当x≥1时，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，故当x=1时，f（x）_min=f（1）=3．…（13分）
即当n=1时，（b_n）_max=16．…（14分）

解析

n(n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an} 中，a1=2，an-a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。