已知函数f=a•2x+b的图象经过A，B及C，其中Sn为数列{an}的前n项和，n∈N*．求{an}的通项公式及前n

题文

已知函数f（x）=a•2^x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）及C（n，S_n），其中S_n为数列{a_n}的前n项和，n∈N^*．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（Ⅱ）若{c_n}中，c_n=n（6a_n-1），求数列{c_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）试比较（Ⅱ）中的T_n与23n2-13n2的大小并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本小题14分）
（Ⅰ）由f（x）=a•2^x+b的图象经过A（1，1），B（2，3）两点⇒2a+b=14a+b=3⇒a=1b=-1，
∴f（x）=2^x-1，
又C（n，S_n）在f（x）的图象上⇒Sn=2n-1，
当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1，
∴an=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
cn=3n•2n-n⇒Tn=3(1•21+2•22+…+n•2n)-(1+2+3+…+n)，
令Pn=1•21+2•22+…+n•2n，
由错位相减法可求得Pn=(n-1)2n+1+2，
又1+2+3+…+n=n(n+1)2，
故Tn=3Pn-n(n+1)2=3(n-1)2n+1+6-n(n+1)2．
（Ⅲ）由Tn-23n2-13n2=3(n-1)2n+1+6-n(n+1)2-23n2-13n2=6(n-1)[2n-(2n+1)]
当n=1时，6（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]=0，Tn=23n2-13n2
当n=2时，6（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]=-6，Tn＜23n2-13n2
当n=3时，6（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]=12，Tn＞23n2-13n2
下证n≥3时，Tn＞23n2-13n2，
即证n≥3时，2ⁿ＞2n+1，
∵n≥3时，2n=(1+1)n=C0n+C1n+C2n+…+Cn-1n+Cnn≥C0n+C1n+…+Cn-1n+Cnn=2n+2＞2n+1成立，
∴n≥3时，Tn＞23n2-13n2成立，
综上所述：n=1时，Tn=23n2-13n2；
n=2时，Tn＜23n2-13n2；
n≥3时，Tn＞23n2-13n2．

解析

2a+b=14a+b=3

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=a•2x+b的图象经过.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。