已知函数f(x)=2x+33x，数列{an}满足a1=1，an+1=f(1an)，n∈N*．求数列{an}的通项公式；令Tn=a1a2-a2a3+a

题文

已知函数f(x)=2x+33x，数列{a_n}满足a₁=1，an+1=f(1an)，n∈N*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_2n-1a_2n-a_2na_2n+1，求T_n；
（3）令bn=1an-1an(n≥2)，b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，若Sn＜m-20022对一切n∈N^*成立，求最小正整数m． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵an+1=f(1an)=2+3an3=an+23
∴an+1-an=23
∴数列{a_n}是以23为公差，首项a₁=1的等差数列
∴an=23n+13
（2）T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_2n-1a_2n-a_2na_2n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）
=-43(a2+a4+…+a2n)
=-43×n(53+4n3+13)  2
=-49(2n2+3n)
（3）当n≥2时，bn=1an-1an=1(23n-13)(23n+13)=92(12n-1-12n+1)
当n=1时，上式同样成立
∴s_n=b₁+b₂+…+b_n=92[(1-13) +(13-15)+…+(12n-1-12n+1)]
=92(1-12n+1)
∵恒有92(1-12n+1)＜92成立，
∵Sn＜m-20022，即92(1-12n+1)＜m-20022对一切n∈N^*成立，
∴92≤m-20022，解得  m≥2011，
∴m_最小=2011

解析

1an

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=2x+33x，数列{a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。