已知函数f(x)=log2x，且数列{f}是首项为2，公差为2的等差数列．求证：数列{an}是等比数列；设bn=an•f，求数列{b

题文

已知函数f(x)=log2x，且数列{f（a_n）}是首项为2，公差为2的等差数列．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设b_n=a_n•f（a_n），求数列{b_n}的前n项和S_n的最小值.. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵函数f(x)=log2x，且数列{f（a_n）}是首项为2，公差为2的等差数列．
∴log2an=2+（n-1）×2=2n
∴an=2n
∵an+1an=2
∴数列{a_n}是等比数列；（7分）
（2）由（1）知，bn=an•f(an)=n•2n+1．…（8分）
∴Sn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，①
2Sn=1•23+2•24+3•25+…+n•2n+2②…（10分）
②-①，得Sn=-22-23-24-…-2n+1+n•2n+2=-22(1-2n)1-2+n•2n+2
∴Sn=(n-1)2n+2+4…（12分）
∵S_n+1-S_n=（n+1）×2ⁿ⁺²＞0
∴{S_n}是递增数列，所以S_n的最小值等于S₁=4…（14分）

解析

2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=log2x，且数列{f.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。