设函数f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，f(0)=12，数列{an}满f(1)=n2an(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn等于____

题文

设函数f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，f(0)=12，数列{a_n}满f(1)=n2an(n∈N*)，则数列{a_n}的前n项和S_n等于______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵函数f（x）=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，
∴f（0）=a₁=12，f（1）=a₀+a₁+…+a_n
∵f（1）=n²•a_n，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²•a_n，
又∵a_n=S_n-S_n-1=n²•a_n-（n-1）²•a_n-1，
∴（n²-1）a_n=（n-1）²•a_n-1（n≥2），
则anan-1=n2-1(n-1)2=n+1n-1
利用叠乘可得，a2a1•a3a2•a4a3…anan-1=13×24×…×n-2n×n-1n+1，
∴anan-1=13×24×…×n-2n×n-1n+1，
∴a_n=1n(n+1)，
故答案为1n(n+1)．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=a1+a2x+a3x2+.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。