对于每个正整数n，抛物线y=x2-x+1与x轴交于两点An、Bn，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2010B2010|的值为___

题文

对于每个正整数n，抛物线y=（n²+n）x²-（2n+1）x+1与x轴交于两点A_n、B_n，则|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₀B₂₀₁₀|的值为______ 题型：未知 难度：其他题型

答案

由已知A_n、B_n的横坐标为（n²+n）x²-（2n+1）x+1=0的根，
由根与系数的关系可得，xAn+xBn=2n+1n2+n，xAnxBn=1n2+n①
因为|A_nB_n|=|xAn-xBn|=(xAn+xBn)2-4xAnxBn②
将①中的数据代入②整理得|A_nB_n|=1n-1n+1
故|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A₂₀₁₀B₂₀₁₀|=1-12+12-13+…+12010-12011=20102011
故应填20102011．

解析

2n+1n2+n

考点

据考高分专家说，试题“对于每个正整数n，抛物线y=（n2+n）.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。