已知函数f=x2+2x，数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn都在函数f的图象上，且过点Pn的切线的斜率为kn

题文

已知函数f（x）=x²+2x，数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）的图象上，且过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；（2）若b_n=2^kn•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，
∴S_n=n²+2n，（2分）
当n=1时，a₁=S₁=3；（3分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n（n-1）²-2（n-1）2n+1，（5分）
当n=1时，也满足，故a_n=2n+1．（6分）
（2）由f（x）=x²+2x，求导可得f'（x）=2x+1，∵过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n
∴k_n=2n+2．
又∵b_n=2^k_n•a_n，∴b_n=2²ⁿ⁺²•（2n+1）=4（2n+1）•4ⁿ．（8分）
∴T_n=4×3×4+4×5×4²+4×7×4³+…+4（2n+1）•4ⁿ①
由①×④可得：4T_n=4×3×4²+4×5×4³+4×7×4⁴+…+4（2n+1）•4ⁿ⁺¹②
①-②可得：-3T_n=4×[3×4+2•（4²+4³+…+4ⁿ）-（2n+1）•4ⁿ⁺¹]（10分）
=4×[3×4+2×42(1-4n-1)1-4-(2n+1)•4n+1]∴T_n=6n+19•4n+2-169．（12分）

解析

42(1-4n-1)1-4

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2+2x，数列{an.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。