设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，an+Sn=4096．求数列{an}的通项公式设数列{log2an}的前n项和为Tn，对数列{Tn

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，a_n+S_n=4096．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设数列{log₂a_n}的前n项和为T_n，对数列{T_n}，从第几项起T_n＜-509？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n+S_n=4096，
∴a₁+S₁=4096，a₁=2048．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（4096-a_n）-（4096-a_n-1）=a_n-1-a_n
∴anan-1=12a_n=2048（12）^n-1．
（2）∵log₂a_n=log₂[2048（12）^n-1]=12-n，
∴T_n=12（-n²+23n）．
由T_n＜-509，解得n＞23+46012，而n是正整数，
于是，n≥46．
∴从第46项起T_n＜-509．

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。