已知函数f满足f(x+y)=f(x)•f(y)，且f(1)=12．当x∈N+时，求f的表达式；设an=nf(n)&(n∈N+，求

题文

已知函数f（x）满足f(x+y)=f(x)•f(y)，且f(1)=12．
（1）当x∈N₊时，求f（n）的表达式；
（2）设an=nf(n) &(n∈N+，求证：a₁+a₂+…+a_n＜2；
（3）设bn=nf(n+1)f(n) &(n∈N+)，Sn=b1+b2+…+bn，求S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题设得：f(n+1)=f(n)•f(1)=12f(n)．
∴数列{f（n）}是以 f(1)=12为首项，12为公比的等比数列．
f(n)=12×(12)n-1=(12)n．（4分）
（2）设T_n=a₁+a₂+…+a_n
∵an=n•f(n)=n•(12)n（n∈N^*）．
∴Tn=1×12+2×(12)2+3×(12)3++n×(12)n12Tn
=1×(12)2+2×(12)3++(n-1)×(12)n+n×(12)n+1
两式相减得：12Tn=12+(12)2+(12)3++(12)n-n×(12)n+1
=12×(1-12n)1-12-n×(12)n+1=1-n+22n+1．
∴Tn=2-n+22n＜2．（10分）
（3）∵bn=nf(n+1)f(n)=n•(12)n+1(12)n=12n，
∴Sn=12(1+2+3+…+n)
=12×n2(n+1)
=n(n+1)4．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）满足f(x+y)=f(x.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。