已知{bn}是公比大于1的等比数列，它的前n项和为Sn，若S3=14，b1+8，3b2，b3+6成等差数列，且a1=1，an=bn•(1b1+1b2+…+1bn

题文

已知{b_n}是公比大于1的等比数列，它的前n项和为S_n，若S₃=14，b₁+8，3b₂，b₃+6成等差数列，且a₁=1，an=bn•(1b1+1b2+…+1bn-1)（n≥2）．
（1）求b_n；
（2）求数列{na_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）依S₃=14，b₁+8，3b₂，b₃+6成等差数列，
得b1(1+q+q2)=146b1q=b1+b1q2+14（2分）
从而2q²-5q+2=0得q=2b1=2
故b_n=2ⁿ．（4分）
（2）当n≥2时，an=2n•(12+122+…+12n-1)=2ⁿ-2
则S_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=1+2（2²-2）+3（2³-2）+…+n（2ⁿ-2）
=1+（2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）-2（2+3+…+n）（1分）
令Tn=2×22+3×23+…+n×2n2Tn=2×23+3×24+…+n×2n+1
得-Tn=8+8(1-2n-2)1-2-n×2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹
故Tn=(n-1)•2n+1．（3分）
于是S_n=1+(n-1)•2n+1-2×(n-1)(n+2)2=（n-1）•2ⁿ⁺¹-n²-n+3．（2分）

解析

b1(1+q+q2)=146b1q=b1+b1q2+14

考点

据考高分专家说，试题“已知{bn}是公比大于1的等比数列，它的.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。