在m个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj，则称Pi与Pj构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该

题文

在m（m≥2）个不同数的排列P₁P₂…P_n中，若1≤i＜j≤m时P_i＞P_j（即前面某数大于后面某数），则称P_i与P_j构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n+1）n（n-1）…321的逆序数为a_n，如排列21的逆序数a₁=1，排列321的逆序数a₃=6．
（Ⅰ）求a₄、a₅，并写出a_n的表达式；
（Ⅱ）令bn=anan+1+an+1an，证明2n＜b₁+b₂+…+b_n＜2n+3，n=1，2，…． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由排列21的逆序数a₁=1，排列321的逆序数a₂=3，排列4321的逆序数a₃=6，得a₄=4+3+2+1=10，a₅=5+4+3+2+1=15，所以a_n=n+（n-1）+…+2+1=n(n+1)2；
（Ⅱ）因为bn=anan+1+an+1an=nn+2+n+2n＞2nn+2•n+2n=2，n=1，2，…，
所以b₁+b₂+…+b_n＞2n．
又因为bn=nn+2+n+2n=2+2n-2n+2，n=1，2，…，
所以b₁+b₂+…+b_n=2n+2[（11-13）+（12-14）+…+（1n-1n+2）]=2n+3-2n+1-2n+2＜2n+3．
综上，2n＜b₁+b₂+b_n＜2n+3，n=1，2，…

解析

n(n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。