已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ＞0，且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立．求数列{an}的通项公式；设a1＞0，λ=100，当n为

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，常数λ＞0，且λa₁a_n=S₁+S_n对一切正整数n都成立．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设a₁＞0，λ=100，当n为何值时，数列{lg1an}的前n项和最大？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

解（I）当n=1时，λ a12 =2s1=2a1
∴a₁（λa₁-2）=0
若取a₁=0，则s_n=0，a_n=s_n-s_n-1=0
∴a_n=0（n≥1）
若a₁≠0，则a1=2λ，当n≥2时，2a_n=2λ+sn，2an-1=2λ+sn-1
两式相减可得，2a_n-2a_n-1=a_n
∴a_n=2a_n-1，从而可得数列{a_n}是等比数列
∴a_n=a₁•2^n-1=2λ•2n-1=2nλ
综上可得，当a₁=0时，a_n=0，当a₁≠0时，an=2nλ
（II）当a₁＞0且λ=100时，令bn=lg1an
由（I）可知bn=lg1002n=2-nlg2
∴{b_n}是单调递减的等差数列，公差为-lg2
∴b₁＞b₂＞…＞b₆=lg10026=lg10064＞0
当n≥7时，bn≤b7=lg10027=lg100128＜0
∴数列{lg1an}的前6项和最大

解析

2λ

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。