在数列{an}中，a1=1，2an+1=(1+1n)2an．求{an}的通项公式；令bn=an+1-12an，求数列{bn}的前n项和Sn；求

题文

在数列{a_n}中，a₁=1，2an+1=(1+1n)2an．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=an+1-12an，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）求数列{a_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由条件得an+1(n+1)2=12•ann2，又n=1时，ann2=1，
故数列{ann2}构成首项为1，公式为12的等比数列．从而ann2=12n-1，即an=n22n-1．
（Ⅱ）由bn=(n+1)22n-n22n=2n+12n得Sn=32+522+…+2n+12n，12Sn=322+523+…+2n-12n+2n+12n+1，
两式相减得：12Sn=32+2(122+123+…+12n)-2n+12n+1，所以Sn=5-2n+52n．
（Ⅲ）由Sn=(a2+a3+…+an+1)-12(a1+a2+…+an)得Tn-a1+an+1-12Tn=Sn．
所以T_n=2S_n+2a₁-2a_n+1=12-n2+4n+62n-1．

解析

an+1(n+1)2

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=1，2an+1=.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。