已知各项均为正数的数列{an}，满足：a1=3，且2an+1-an2an-an+1=anan+1，n∈N*．求数列{an}的通项公式；设Sn=a12

题文

已知各项均为正数的数列{a_n}，满足：a₁=3，且2an+1-an2an-an+1=anan+1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，Tn=1a21+1a22+…+a1a2n，求S_n+T_n，并确定最小正整数n，使S_n+T_n为整数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）条件可化为an+1-1an+1=2(an-1an)，
因此{an-1an}为一个等比数列，其公比为2，首项为a1-1a1=83，
所以an-1an=83×2n-1=2n+23(n∈N*)1°
因a_n＞0，由1°式解出a_n=13(2n+1+22n+2+9)2°
（2）由1°式有S_n+T_n=(a1-1a1)2+(a2-1a2)2+…+(an-1an)2+2n
=(233)2+(243)2+(253)2++(2n+23)2+2n
=6427(4n-1)+2n(n∈N*)
为使S_n+T_n=6427(4n-1)+2n(n∈N*)为整数，
当且仅当4n-127为整数．
当n=1，2时，显然S_n+T_n不为整数，
当n³3时，4ⁿ-1=（1+3）ⁿ-1=C_n¹×3+C_n²×3²+3³（C_n³++3^n-3C_nⁿ）
∴只需3C1n+32C2n27=n9•3n-12为整数，
因为3n-1与3互质，
所以为9的整数倍．
当n=9时，n9•3n-12=13为整数，
故n的最小值为9．

解析

1an+1

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的数列{an}，满足：a.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。