已知函数f=4x+1，g=2x，x∈R，数列{an}，{bn}，{cn}满足条件：a1=1，an=f=g，cn=1[

题文

已知函数f（x）=4x+1，g（x）=2x，x∈R，数列{a_n}，{b_n}，{c_n}满足条件：a₁=1，a_n=f（b_n）=g（b_n+1）（n∈N^*），cn=1[12f(n)+12][g(n)+3]．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{c_n}的前n项和T_n，并求使得Tn＞m150对任意n∈N^*都成立的最大正整数m；
（Ⅲ）求证：a1a2+a2a3+…+anan+1＞n2-13． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意a_n+1=4b_n+1+1，a_n=2b_n+1，
∴a_n+1=2a_n+1，（2分）
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁=1，
∴数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．（4分）
∴．a_n+1=2×2^n-1
∴a_n=2ⁿ-1．（5分）
（Ⅱ）∵cn=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1-12n+3)，（7分）
∴Tn=12(13-15+15-17++12n+1-12n+3)=12(13-12n+3)=n3×(2n+3)=n6n+9．（8分）
∵Tn+1Tn=n+16n+15•6n+9n=6n2+15n+96n2+15n＞1，
∴T_n＜T_n+1，n∈N^*．
∴当n=1时，T_n取得最小值115．（10分）
由题意得115＞m150，得m＜10．
∵m∈Z，
∴由题意得m=9．（11分）
（Ⅲ）证明：
∵akak+1=2k-12k+1-1=12-12(2k+1-1)=12-13×2k+2k-2≥12-13•12k，
k=1，2，3，，n（12分）
∴a1a2+a2a3++anan+1≥n2-13(12+122++12n)=n2-13(1-12n)．
∴a1a2+a2a3++anan+1＞n2-13（n∈N^*）．（14分）

解析

1(2n+1)(2n+3)

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=4x+1，g（x）=2.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。