已知函数y=f满足a=(x2，y)，b=(x-1x，-1)，且a•b=-1．如果存在正项数列{an}满足：a1=12，f(a1)+f(a2)+f(a3)+

题文

已知函数y=f（x）满足a=(x2，y)，b=(x-1x，-1)，且a•b=-1．
如果存在正项数列{a_n}满足：a1=12， f(a1)+f(a2)+f(a3)+…+f(an)-n=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）求证：a11+a22+a33+…+ann＜1；
（3）求证：a11+a22+a33+…+ann＜1+2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a•b=-1，∴y=f（x）=x³-x+1（x≠0）
∵f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a_n）-n=a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³-n²a_n（n∈N^*）．
所以代入得a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²a_n ①
又a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=（n-1）²a_n-1（n≥2）②
①-②得 anan-1=n-1n+1则an=anan-1•an-1an-2•…•a2a1=1n(n+1)(n∈N*)…（4分）
（2）由（1）得aii=1i2(i+1)=1i(1i-1i+1)=1i2-(1i-1i+1)＜1i(i-1)-(1i-1i+1)=(1i-1-1i)+(1i-1i+1)(i＞1)
∴a11+a22+a33+…+ann＜12+12-(1n-1n+1)=1+1n+1-1n=1-1n(n+1)＜1…（9分）
（3）∵i+1+i-12＜(i+1)+(i-1)2=i∴1i＜2i+1+i-1
而aii=1i2(i+1)＜1(i-1)i(i+1)＜1i-1•i+1•2i-1+i+1=1i-1-1i+1(i≥2)
所以a11+a22+a33+…+ann＜a11+(11-13)+(12-14)+…+(1n-1-1n+1)＜12+1+12-1n-1n+1＜1+2…（14分）

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数y=f（x）满足a=(x2，y).....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。