已知数列{an}对于任意的p、q∈N*，满足ap+q=ap+aq且a2=2，则1a1a2+1a2a3+…+1a2008a2009=______．

题文

已知数列{a_n}对于任意的p、q∈N^*，满足a_p+q=a_p+a_q且a₂=2，则1a1a2+1a2a3+…+1a2008a2009=______．题型：未知难度：其他题型

答案

数列{a_n}对于任意的p、q∈N^*，满足a_p+q=a_p+a_q且a₂=2，所以a₂=a₁+a₁且a₁=1，
所以a_n+1=a_n+1，数列是等差数列，a_n=n，所以1a1a2+1a2a3+…+1a2008a2009
=-（1a2- 1a1+1a3-1a2+…+1a2009-1a2008）=1-12009=20082009．
故答案为：20082009．

解析

1a1a2

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}对于任意的p、q∈N*，.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如
$已知数列{an}对于任意的p、q∈N*，满足ap+q=ap+aq且a2=2，则1a1a2+1a2a3+…+1a2008a2009=______．$
的形式，可以把
$已知数列{an}对于任意的p、q∈N*，满足ap+q=ap+aq且a2=2，则1a1a2+1a2a3+…+1a2008a2009=______．$
表示为
$已知数列{an}对于任意的p、q∈N*，满足ap+q=ap+aq且a2=2，则1a1a2+1a2a3+…+1a2008a2009=______．$
，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如
$已知数列{an}对于任意的p、q∈N*，满足ap+q=ap+aq且a2=2，则1a1a2+1a2a3+…+1a2008a2009=______．$
的数列，其中
$已知数列{an}对于任意的p、q∈N*，满足ap+q=ap+aq且a2=2，则1a1a2+1a2a3+…+1a2008a2009=______．$
为等差数列，
$已知数列{an}对于任意的p、q∈N*，满足ap+q=ap+aq且a2=2，则1a1a2+1a2a3+…+1a2008a2009=______．$
为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：

$已知数列{an}对于任意的p、q∈N*，满足ap+q=ap+aq且a2=2，则1a1a2+1a2a3+…+1a2008a2009=______．$

数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。