已知n是正整数，数列{an}的前n项和为Sn，数列{nan}的前n项和为Tn．对任何正整数n，等式Sn=-an+12都成立．求数列{an}的通项

题文

已知n是正整数，数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{na_n}的前n项和为T_n．对任何正整数n，等式S_n=-a_n+12（n-3）都成立．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求T_n；
（III）设A_n=2T_n，B_n=（2n+4）S_n+3，比较A_n与B_n的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I） 当n=1时，由sn=-an+12(n-3)的S1=a1=-a1+12(1-3)，
解得a1= -12…2分
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-an+12(n-3)-[-an-1+12(n-4)]
解得 an=12an-1+14，即an-12=12(an-1-12)
因此，数列{an-12}是首项为-1，公比为12的等比数列
∴an-12=(-1)•(12)n-1，
即an=12-12n-1，…7分
∴数列{an}的通项公式为an=12-12n-1．
（II）∵nan=n2-n•12n-1，
∴Tn=12(1+2+3+…+n)-(1+2×12+3×122+…+n×12n-1)…6分
令Un= 1+2×12+3×122+…+n×12n-1．
则12Un= 12+2×122+3×123+…+n×12n．
上面两式相减：12Un= 1+12+122+…+12n-1-n×12n=1-(12)n1-12-n•12n，即Un=4-n+22n-1．
∴Tn =n(n+1)4-4+ n+22n-1=n2+n-164+n+22n-1…8分            
 （III）∵S_n=-a_n+n-32=-12+12n-1+n-32=n-42+12n-1，
∴An-Bn=n2+n-162+n+22n-2-(2n+4)(n-4)2-n+22n-2-3
=-n2+5n-62…10分
∵当n=2或n=3时，-n2+5n-62的值最大，最大值为0，
∴A_n-B_n≤0．
因此，当n是正整数时，A_n≤B_n．…12分

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知n是正整数，数列{an}的前n项和为.....”主要考查你对 [数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） ]考点的理解。 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等）

数列求和的常用方法：

1.裂项相加法：数列中的项形如

的形式，可以把

表示为

，累加时抵消中间的许多项，从而求得数列的和；
2、错位相减法：源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如

的数列，其中

为等差数列，

为等比数列，均可用此法；
3、倒序相加法：此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和。
4、分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成两个部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法。
5、公式法求和：所给数列的通项是关于n的多项式，此时求和可采用公式求和，常用的公式有：
 


数列求和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。

数列求和特别提醒：

（1）对通项公式含有

的一类数列，在求

时，要注意讨论n的奇偶性；
（2）在用等比数列前n项和公式时，一定要分q=1和q≠1两种情况来讨论。